Por qué hay matemáticos que quieren ponerle fin al infinito (y tampoco les gustan los números enormes)
Al deshacerse de lo que no tiene fin y de números absurdamente grandes, todo se facilita, alegan.
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Hace unos días me topé con un artículo de la revista New Scientist que se titulaba "Por qué los matemáticos quieren destruir el infinito... y podrían lograrlo".
No pude resistir las ganas de leerlo pues confieso que me fascina el infinito.
Para mí, el infinito es libertad creativa, intelectual y emocional.
Además me maravilla que podamos concebir un concepto tan asombroso desde pequeños: "¡Hasta el infinito y más allá!", como dice Buzz Lightyear de Toy Story.
Quizás es porque lo intuimos al mirar el horizonte, o porque lo sentimos al ir descubriendo nuestra capacidad de amar.
Así que la idea de que alguien lo quisiera destruir me alarmó, particularmente si se trataba de matemáticos.
Y es que las matemáticas también me fascinan... desde lejos, pues mis conocimientos son limitados, pero suficientes como para recordar que los matemáticos de la Antigua Grecia observaron el enigmático infinito con detenimiento.
Desde Zenón de Elia (~450 a.C.), con sus famosas paradojas sobre el concepto y su manifestación en el movimiento y la continuidad, hasta Arquimedes (siglo III a.C.), quien exploró el infinito y demostró cómo sumar un número infinito de sumas para resolver problemas geométricos, prefigurando el cálculo infinitesimal.
En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron y formalizaron esa rama fundamental de las matemáticas que se centra en el estudio del cambio y el movimiento.
Recuerdo también mi asombro al comprender lo que el matemático alemán de finales del siglo XIX Georg Cantor demostró: que no había un solo infinito sino varios, y que unos eran más grandes que otros.
Con su teoría de conjuntos, Cantor estableció la primera teoría matemática que hizo posible manejar lo inconmensurable.
Desde entonces, el infinito ha sido piedra angular de las matemáticas y la física contemporáneas, y por ende, de nuestro mundo, incluyendo el cotidiano, pues juega un papel esencial en nuestra tecnología y ciencia.
Entonces, ¿de dónde viene el deseo de eliminarlo?
"Porque el infinito no es más que una ilusión", me dijo Doron Zeilberger, profesor distinguido de la Universidad de Rutgers en Nueva Jersey, un matemático ilustre y multipremiado.
Pero también es un disidente, un prominente ultrafinitista, como se autodenomina el grupo de matemáticos, filósofos, informáticos y físicos que durante décadas fue considerado radical pero que, aunque sigue siendo una reducida minoría, está siendo escuchada.
Cuestionan el concepto del infinito, y argumentan además que hasta números finitos pero enormes, por ejemplo 10⁹⁰, podrían ser insignificantes.
Así contáramos cada átomo del universo observable, nunca alcanzaríamos esta cifra, entonces, ¿qué sentido tiene hablar de ella?
Esa ilusión
"En mi filosofía, las matemáticas tomaron el camino equivocado al abrazar el infinito", me dijo Zeilberger.
"La gente no se dio cuenta porque era como una ilusión óptica", añadió, "como la antigua creencia de que la Tierra era plana".
"La gente creyó que el Universo es infinito, y algunas personas todavía lo creen, pero otras piensan que es finito. No está limitado, porque siempre puedes seguir adelante, pero es finito, como nuestro planeta", afirma.
¿Ilimitado pero no infinito? Puede ser: en teoría uno podría darle la vuelta al mundo sin cesar por tiempo indefinido, pero eso no significa que la Tierra sea infinita.
"Así creo que es un universo matemático
"Pero con la invención de este concepto artificial de infinito, todo se volvió muy intrincado, elaborado y retorcido.
"No puedo decir que las matemáticas clásicas sean lógicamente erróneas, sino que son innecesariamente complicadas.
"En retrospectiva, si se hubieran dado cuenta de que el mundo es finito, y hay un número que es el número más grande posible, todo sería más sencillo".
Pero, si hay un número natural máximo, ¿qué sucede al sumarle 1, una de las pruebas de que existe el infinito?
Sencillamente, según Zeilberger, en una circularidad muy elegante, se vuelve a 0... lo que en nuestro ejemplo de darle la vuelta al mundo indefinidamente, sería como, en algún momento, llegar al punto de partida original.
"Lo que planteo es un poco análogo a la revolución de Albert Einstein, quien demostró que la velocidad de la luz es la más rápida: no puedes ir más rápido de unos 300.000 kilómetros por hora.
"Einstein tuvo suerte: llegó a un número concreto. Yo no tengo idea de cuál es ese número más grande, pero es irrelevante, puedes llamarlo de cualquier manera.
"La cuestión es que con él puedes recrear todas las matemáticas y hacerlas mucho más simples. Aunque admito que hacerlo realmente sería muy tedioso".
El punto es que los ultrafinitistas proponen una solución radical: eliminar el infinito y limitarnos a números "factibles", para descomplicar la ciencia y hacerla más práctica.
Matemáticos rebeldes
¿Qué hace que un número sea "factible"?
Para Rohit Parikh, de la City University de Nueva York, quien desarrolló una de las primeras teorías ultrafinitistas formales en la década de 1970 e introdujo la idea de "números factibles", la clave está en mantener una conexión con la actividad humana.
"Hay que fijar un límite en algún punto. Las cosas tienen que estar conectadas con la actividad humana".
Si un número no puede ser nombrado, calculado, almacenado, transmitido o incluso individuado coherentemente bajo restricciones físicas, ¿existe realmente como un objeto matemático?
Piensa por ejemplo en el número de Skewes, un número que aparece en la teoría de números, tan extremadamente grande que al parecer tiene más dígitos de los que caben en el Universo.
Aunque es absurdamente alto, fue valioso por varias razones, entre ellas, mostrar lo lejos que pueden ir las matemáticas en busca de certeza, y demostrar que los resultados pueden ser ciertos, incluso si son inútiles en la práctica directa.
Eso le causaría rechazo a los ultrafinitistas: el número de Skewes y muchos otros muchos menores que él estarían muy por encima de ese límite que, insisten, se debería trazar.
¿Pero cuál es ese límite?
Hay una anécdota que se suele citar e involucra al padre del ultrafinitismo moderno Alexander Yessenin-Volpin, un matemático que fue un destacado activista de derechos humanos en la Unión Soviética, por lo que fue encarcelado en 1968.
La relató Harvey Friedman en "Problemas filosóficos en lógica".
En el año 2000, tuvo la ocasión de plantearle a Yessenin-Volpin la objeción de la mayoría de los matemáticos a la idea de fijar límites.
"Me pidió que fuera más específico. Entonces procedí a comenzar con 2¹ y le pregunté si era 'real' o algo por el estilo. Casi de inmediato dijo que sí. Luego pregunté por 2², y volvió a decir que sí, pero con un retraso perceptible. Luego 2³ , y sí, pero con más retraso.
"Esto continuó un par de veces más, hasta que fue evidente cómo manejaba esta objeción. Claro, estaba dispuesto a responder siempre que sí, pero iba a tardar 2¹⁰⁰ veces más en responder que sí a 2¹⁰⁰ que en responder 2¹. No había manera de que pudiera llegar muy lejos con esto".
La anécdota ilustra la idea fundamental del ultrafinitismo: la existencia de los números se vuelve cada vez más cuestionada a medida que estos se hacen mayores.
Cuestión de fe
En esta visión, la aritmética se ajusta a lo que se puede hacer, limitada por el tiempo, el espacio y los recursos.
Hay una frontera después de la cual todo es futil.
Y esa frontera de alguna manera la imponen las computadoras, las cuales pueden hacer cálculos que quienes introdujeron el infinito e imaginaron números enormes sólo podían soñar.
"A veces tienes una ecuación diferencial tan complicada que nadie sabe cómo resolverla exactamente", señaló Zeilberger.
"Pero usando computadoras, puedes obtener una muy buena aproximación, lo suficientemente buena para todos los propósitos prácticos, y así es como se hace".
Gran parte del trabajo moderno con matemáticas ya reside en lo finito, desde la criptografía y la verificación formal a las estructuras de datos y los algoritmos aleatorios.
También en la física hay quienes están intentando aplicar el finitismo con la esperanza de encontrar mejores teorías para describir nuestro mundo.
Para el físico sueco-estadounidense Max Tegmark, el infinito es un concepto hermoso, pero está arruinando la física.
"Nuestras mejores simulaciones informáticas, que describen con precisión todo - desde la formación de las galaxias hasta el clima del futuro y las masas de las partículas elementales- utilizan únicamente recursos informáticos finitos al tratar todo como finito", escribió en su libro "Esta idea debe morir".
No obstante, si vinculamos estrechamente las matemáticas y la física a la finita capacidad de las computadoras, ¿no corremos el riesgo de amarrar nuestra sabiduría y la aventura de la exploración a lo que se puede en vez de a lo que es posible?
Si se destierra al infinito de las matemáticas, ¿no se limitará la imaginación y se coartará la creatividad?
"Entiendo que te gusta el infinito y no te voy a disuadir: a algunos de mis mejores amigos les gusta el infinito", bromeó Zeilberger.
"El punto es que debes saber que hay una manera de rehacer todas las matemáticas, al menos lo que se necesita para la ciencia y la tecnología, por medios completamente finitistas".
Al final es casi como una cuestión de fe.
"El infinito puede existir o no, Dios puede existir o no, pero no hay necesidad de ninguno de los dos en matemáticas", añadió.
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